En vista de que nuestro compañero Chema9879 no da señales de vida —como era de esperar; y conste que lo entiendo perfectamente: yo también me iba a la cantina a jugar al dominó y luego tenía que hacer todos los «mandaos» en una sola tarde.— y que, por tanto, no nos contestará a los matices que le solicitábamos, creo que llega el momento de dar resolución con los datos que tenemos al problema —y que, como buen pedante, no me puedo resistir—.

En primer lugar, pienso que hay que establecer bien el enunciado. Digamos que podría ser:

«Realícese un programa en GAMBAS3 u otro BASIC similar que aproxime el valor de π a partir de la serie de Leibniz modificando el control de flujo con un bucle WHILE - WEND, siendo:
 
la definición de la serie de Leibniz —téngase en cuenta que la serie calcula π/4—.
La precisión deseada debe ser una variable de entrada.»

Vale que todos sabemos que calcular así el valor de π no sirve para nada, ya que siempre podremos hacer un [Public Const Pi As Float = 3.14159265358979] de no ser porque Pi ya es una función en Gambas3 cuyo argumento es el multiplicador de π —2*π es Pi(2)—; incluso, siendo mucho más arcaico, [Pi = 4 * ATan(1)]. Pero este problema es muy didáctico porque:
a) El resultado es más que conocido, por lo que sabremos si vamos o no bien.
b) Permite comparar la misma función con varias máquinas, esto es, comparar rendimientos de hardware; comparar distintas funciones en la misma máquina, esto es, comparar software —o ver si el pedante empollón de Miguel lo hace mejor que el campeón inter escuelas universitarias de Castilla La Mancha de dominó (no, yo no fui campeón de dominó), ¡pardiez!—.
c) Permite realizarlo con varios modificadores de flujo, aunque este caso caso nos lo pidan con While —yo prefiero siempre DO - LOOP por lo versatil—.
d) Además, está muy estudiado y permite aproximaciones por fórmulas explícitas, para «buscar» decimales; series explícitas, como el caso; series implícitas, para buscar recursividad. Y como es tan conocido, tenemos la referencia siempre a mano.
Y, por último, que el problema del enunciado NO es el de buscar los decimales de π, problema también interesante, sino de aproximar su valor.

Una solución posible podría ser esta:

En ella se introduce la precisión desde la consola. Ése será el criterio de parada: cuando la diferencia entre un término y su anterior en valor absoluto sea menor que este número. La ventaja de usar series explícitas es que cada término de la serie es esa diferencia. Si no, habría que guardar el término anterior a_n-1 y compararlo con el término actual a_n, con lo que el criterio de parada sería |a_n-a_n-1|<dif
Obsérvese que el nombre correcto de este término es «diferencia» y no «error», aunque en muchos tratados, y yo mismo, hay veces que usemos tal nombre de manera indiferente. Pero esa «diferencia» se refiere, como se ha comentado a la que existe entre el término enésimo y su anterior, no a la que existe entre el valor real y el término enésimo.
El resto del programa es auto explicativo. Al final se imprime el resultado en la salida de consola convencional.
Se imprimen, por supuesto, el resultado, pero también el número de iteraciones para llegar al resultado.

Pero hay más cosas divertidas en torno a este problema. ¿Por qué se emplea la serie de Leibniz si es más lenta que el caballo del malo? Esto da lugar a un nuevo problema, también divertido: la optimación de la computación. ¿Por qué es interesante la serie de Leibniz? Lo importante es cómo lleva a la obtención de π. Poniendo un ejemplo más sencillo, véase la demostración de que raíz de dos no es racional. ¡Rediez!, sin numeración arábiga siquiera. —Vale, me estoy saliendo por la tangente de algunos temas, pero me gustaría que todo esto se pudiese encontrar en santa Güiqui porque nos supongo un poco vagos; para lo demás bastaría un par de buenos libros. Y sí, la serie de Leibniz viene explicada en santa Güiqui, pero es difícil de entender simplemente así, creo que resulta más instructivo el ejemplo de raíz de dos en «demostraciones», «reducción al absurdo»—.
Como digo, hay opciones mucho más rápidas, como la serie de Fórmula de Ramanujan:
 
Además, esta serie implica el cálculo de factoriales. Sin meternos en demasiado berenjenal, la función factorial se puede estudiar como función recursiva o como función explícita —la explícita es como un 8% más lenta que la implícita—:



Pero como en esta fórmula está vinculada al propio sumatorio, podemos ahorrarnos las llamadas externas, que son caras en tiempo, incluyendo el factorial en el sumatorio, lo que además evita tener que repetir los cálculos del factorial en cada iteración. Vamos, que lo solucionamos con un «acumulador» para n! —para 4*n! no sé cómo hacerlo, así es que hay que llamar a la función; a ver si mañana se me ocurre cómo simplificarlo Solucionado con la variable n4—:



En apenas tres iteraciones le lleva lo que a la de Leibniz 500.000.001 iteraciones. Lo juro. Probadlo.